Sinus, cosinus et tangente suffisent pour résoudre la plupart des exercices de collège. Au lycée, il faut y ajouter les angles remarquables, les identités fondamentales et les formules d’addition. Les relations de transformation et les fonctions réciproques concernent surtout les classes avancées et l’enseignement supérieur.
Avant tout calcul, vérifiez deux éléments : la figure contient-elle un triangle rectangle et les angles sont-ils exprimés en degrés ou en radians ? Ces deux contrôles évitent une grande partie des erreurs.
Le formulaire essentiel en un coup d’œil
| Situation | Formule | Niveau indicatif |
|---|---|---|
| Triangle rectangle | sin(θ) = opposé / hypoténuse | Collège |
| Triangle rectangle | cos(θ) = adjacent / hypoténuse | Collège |
| Triangle rectangle | tan(θ) = opposé / adjacent | Collège |
| Identité fondamentale | sin²(x) + cos²(x) = 1 | Lycée |
| Lien entre les fonctions | tan(x) = sin(x) / cos(x) | Lycée |
| Addition | sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) | Lycée |
| Addition | cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b) | Lycée |
| Angle double | sin(2x) = 2sin(x)cos(x) | Lycée |
| Triangle quelconque | a² = b² + c² − 2bc cos(A) | Lycée |
Pour une fiche de 3e, les trois premières lignes sont prioritaires. Les formules d’addition et de transformation ne doivent pas encombrer une première fiche d’apprentissage.
Les bases de la trigonométrie
La trigonométrie étudie les relations entre les angles et les longueurs. Dans un triangle rectangle, le nom des côtés dépend de l’angle choisi, sauf pour l’hypoténuse.
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est le plus long côté du triangle.
- Le côté opposé se trouve en face de l’angle étudié.
- Le côté adjacent touche l’angle étudié, mais ce n’est pas l’hypoténuse.
B
/|
hypoténuse / | côté opposé à θ
/ |
/ |
A----C
θ angle droit
AC = côté adjacent à θ
AB = hypoténuse
BC = côté opposé à θ
Si l’on choisit l’angle situé en B, les côtés AC et BC échangent leur rôle. L’hypoténuse AB reste la même.
Degrés et radians
Un tour complet mesure 360° ou 2π radians. Un demi-tour vaut 180° ou π radians. La conversion repose donc sur l’égalité 180° = π rad.
- Degrés vers radians : x° = x × π / 180 radians.
- Radians vers degrés : x rad = x × 180 / π degrés.
Par exemple, 60° = 60 × π / 180 = π/3 rad. De même, π/4 rad = 45°. Sur une calculatrice, utilisez le mode DEG pour les degrés et RAD pour les radians.
Sinus, cosinus et tangente dans un triangle rectangle
| Fonction | Formule | Moyen mnémotechnique |
|---|---|---|
| Sinus | sin(θ) = opposé / hypoténuse | SOH |
| Cosinus | cos(θ) = adjacent / hypoténuse | CAH |
| Tangente | tan(θ) = opposé / adjacent | TOA |
Le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA associe la première lettre de chaque fonction aux deux côtés concernés : sinus-opposé-hypoténuse, cosinus-adjacent-hypoténuse et tangente-opposé-adjacent.
Choisir la bonne formule
- Repérez l’angle droit et l’hypoténuse.
- Placez-vous par rapport à l’angle connu ou recherché.
- Nommez les côtés opposé et adjacent.
- Barrez mentalement le côté qui n’intervient pas dans l’exercice.
- Choisissez la formule contenant les deux longueurs utiles.
Si l’on connaît le côté opposé et l’hypoténuse, on utilise le sinus. Avec l’adjacent et l’hypoténuse, on choisit le cosinus. Avec l’opposé et l’adjacent, on utilise la tangente.
Exemple de calcul d’une longueur
Dans un triangle rectangle, un angle mesure 35° et son côté opposé mesure 7 cm. On cherche l’hypoténuse h :
sin(35°) = 7 / h, donc h = 7 / sin(35°) ≈ 12,2 cm.
Le résultat est cohérent : l’hypoténuse est bien plus longue que le côté de 7 cm.
Exemple de calcul d’un angle
Le côté opposé à l’angle θ mesure 6 cm et le côté adjacent mesure 8 cm. On écrit :
tan(θ) = 6 / 8 = 0,75, puis θ = arctan(0,75) ≈ 36,9°.
La touche de calculatrice peut être notée tan−1, arctan ou atan. Ici, elle désigne la fonction réciproque de la tangente, et non le nombre 1/tan(θ).
Les formules trigonométriques fondamentales
Sur le cercle trigonométrique, le point associé à l’angle x possède pour coordonnées (cos(x), sin(x)). Comme ce cercle a un rayon égal à 1, le théorème de Pythagore donne :
sin²(x) + cos²(x) = 1.
Cette identité permet de retrouver un sinus à partir d’un cosinus, ou inversement. Ainsi, si cos(x) = 3/5, alors sin²(x) = 1 − 9/25 = 16/25. On obtient sin(x) = 4/5 ou −4/5. Le signe dépend de la position de l’angle sur le cercle.
La tangente est définie par :
tan(x) = sin(x) / cos(x), à condition que cos(x) ≠ 0.
Dans les niveaux avancés, on rencontre aussi :
- sec(x) = 1 / cos(x) ;
- cosec(x) = 1 / sin(x) ;
- cotan(x) = cos(x) / sin(x) = 1 / tan(x).
Ces expressions ne sont définies que si leur dénominateur n’est pas nul.
Tableau des angles remarquables
| Angle en degrés | Angle en radians | cos(x) | sin(x) | tan(x) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | Non définie |
La tangente de 90° n’existe pas, car elle conduirait à une division par cos(90°), qui vaut zéro. Pour mémoriser les sinus, on peut lire successivement √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 et √4/2. Les cosinus reprennent la même suite en sens inverse.
Angles associés et symétries
Les relations suivantes permettent de ramener un angle à une valeur connue. Elles sont valables dès que les fonctions concernées sont définies.
| Angle | Sinus | Cosinus | Tangente |
|---|---|---|---|
| −x | −sin(x) | cos(x) | −tan(x) |
| π − x | sin(x) | −cos(x) | −tan(x) |
| π + x | −sin(x) | −cos(x) | tan(x) |
| π/2 − x | cos(x) | sin(x) | 1 / tan(x) |
| π/2 + x | cos(x) | −sin(x) | −1 / tan(x) |
Le sinus est une fonction impaire : sin(−x) = −sin(x). Le cosinus est pair : cos(−x) = cos(x). La tangente est impaire.
Formules d’addition et de soustraction
Ces formules servent à calculer une valeur exacte, à transformer une expression ou à démontrer une identité.
- sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
- sin(a − b) = sin(a)cos(b) − cos(a)sin(b)
- cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
- cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
- tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 − tan(a)tan(b)]
- tan(a − b) = [tan(a) − tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)]
Pour calculer cos(15°), on peut écrire 15° = 45° − 30°. Ainsi :
cos(15°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°) = (√6 + √2) / 4.
Dans les formules de tangente, il faut vérifier que les tangentes initiales et le quotient final sont définis.
Formules de duplication
Les formules d’angle double s’obtiennent en remplaçant a et b par x dans les formules d’addition.
- sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
- cos(2x) = cos²(x) − sin²(x)
- cos(2x) = 2cos²(x) − 1
- cos(2x) = 1 − 2sin²(x)
- tan(2x) = 2tan(x) / [1 − tan²(x)]
Les trois écritures de cos(2x) sont équivalentes. Le choix dépend de l’expression à simplifier. Si elle ne contient que des sinus, la forme 1 − 2sin²(x) est souvent la plus directe.
Formules de transformation pour un niveau avancé
Ces relations sont surtout utiles au lycée avancé, en prépa et dans l’enseignement supérieur. Elles transforment un produit en somme, ou une somme en produit.
Transformer un produit en somme
- cos(a)cos(b) = ½[cos(a + b) + cos(a − b)]
- sin(a)sin(b) = ½[cos(a − b) − cos(a + b)]
- sin(a)cos(b) = ½[sin(a + b) + sin(a − b)]
- cos(a)sin(b) = ½[sin(a + b) − sin(a − b)]
Transformer une somme en produit
- sin(p) + sin(q) = 2sin[(p + q)/2]cos[(p − q)/2]
- sin(p) − sin(q) = 2cos[(p + q)/2]sin[(p − q)/2]
- cos(p) + cos(q) = 2cos[(p + q)/2]cos[(p − q)/2]
- cos(p) − cos(q) = −2sin[(p + q)/2]sin[(p − q)/2]
Formules de demi-angle
- sin²(x/2) = [1 − cos(x)] / 2
- cos²(x/2) = [1 + cos(x)] / 2
En prenant une racine carrée, le signe positif ou négatif doit être choisi selon le quadrant dans lequel se trouve x/2.
Lois des sinus et des cosinus dans un triangle quelconque
Dans un triangle ABC, les longueurs a, b et c sont respectivement opposées aux angles A, B et C.
La loi des sinus s’écrit :
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C).
Elle convient notamment si l’on connaît un côté, son angle opposé et une autre donnée. Par exemple, si a = 8 cm, A = 30° et B = 45°, alors :
b = 8 × sin(45°) / sin(30°) = 8√2 cm.
La loi des cosinus, également appelée théorème d’Al-Kashi, s’écrit :
- a² = b² + c² − 2bc cos(A) ;
- b² = a² + c² − 2ac cos(B) ;
- c² = a² + b² − 2ab cos(C).
Elle permet de trouver un côté à partir de deux côtés et de l’angle compris. Elle sert aussi à calculer un angle lorsque les trois côtés sont connus. Si A = 90°, cos(A) = 0 : la première égalité devient a² = b² + c², c’est-à-dire le théorème de Pythagore.
Arcsinus, arccosinus et arctangente
Les fonctions réciproques permettent de retrouver un angle à partir d’un rapport trigonométrique :
- si sin(x) = y, on utilise x = arcsin(y) ;
- si cos(x) = y, on utilise x = arccos(y) ;
- si tan(x) = y, on utilise x = arctan(y).
Arcsin et arccos ne peuvent recevoir qu’un nombre compris entre −1 et 1. Les valeurs principales renvoyées sont comprises entre −π/2 et π/2 pour arcsin, entre 0 et π pour arccos, et entre −π/2 et π/2 pour arctan, sans inclure les deux bornes dans ce dernier cas.
Pour une équation trigonométrique, la valeur affichée par la calculatrice n’est donc pas toujours l’unique solution. Il faut utiliser les symétries et la périodicité : 2π pour le sinus et le cosinus, π pour la tangente.
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Pour préparer une fiche courte, conservez seulement les parties correspondant au niveau travaillé :
- 3e et collège : vocabulaire du triangle, SOH CAH TOA, calcul d’une longueur ou d’un angle et réglage en degrés.
- Lycée : cercle trigonométrique, angles remarquables, identité fondamentale, angles associés, addition et duplication.
- Prépa et supérieur : transformations produit-somme, somme-produit, demi-angle, fonctions réciproques et conditions de définition.
Une fiche efficace laisse aussi une petite place pour noter l’unité des angles et les conditions d’existence. Ces indications sont aussi importantes que les égalités elles-mêmes.
Questions fréquentes sur le formulaire de trigonométrie
Quelle est la formule de la tangente ?
Dans un triangle rectangle, tan(θ) = opposé / adjacent. Plus généralement, tan(x) = sin(x) / cos(x), avec cos(x) ≠ 0.
Quelle différence entre sinus, cosinus et tangente ?
Le sinus relie le côté opposé à l’hypoténuse. Le cosinus relie le côté adjacent à l’hypoténuse. La tangente relie les côtés opposé et adjacent. Le choix dépend donc des longueurs connues ou recherchées.
Comment retenir SOH CAH TOA ?
Décomposez chaque groupe en trois initiales : Sinus-Opposé-Hypoténuse, Cosinus-Adjacent-Hypoténuse et Tangente-Opposé-Adjacent. Il faut toutefois commencer par identifier correctement les côtés sur la figure.
Comment savoir si la calculatrice doit être en degrés ou en radians ?
Une mesure portant le symbole ° demande le mode degrés. Une expression contenant π est généralement en radians. À titre de contrôle, sin(30°) et sin(π/6) doivent tous deux donner 0,5 dans le mode approprié.
Quelles formules faut-il apprendre en 3e ?
Les trois rapports SOH CAH TOA sont essentiels. Il faut également savoir identifier l’hypoténuse, utiliser arcsin, arccos ou arctan pour calculer un angle, arrondir selon la consigne et vérifier que la calculatrice est réglée en degrés.
